Question

3．已知A为△ABC的最小内角，若向量$\overrightarrow{a}$=（cosA，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（A+$\frac{π}{6}$），1），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• B． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． （2，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 由题意可得A≤$\frac{π}{3}$，化简$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$ 为sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，再根据2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的范围．

解答 解：∵A为△ABC的最小内角，∴A≤$\frac{π}{3}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sin（A+$\frac{π}{6}$）cosA+1=2（sinA•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cosA•$\frac{1}{2}$）cosA+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2sinAcosA+cos²A+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1+cos2A}{2}$+1=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∵2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[2，$\frac{5}{2}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．