Question

12．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则$\frac{y}{x-a}$的取值范围是[$\frac{1}{8}$，$\frac{2}{7}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，根据可行域和最优解的个数得出a的值，利用$\frac{y}{x-a}$的几何意义得出答案．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图：

当a=0时，显然z=x+ay只有一个最优解，不符合题意，
当a＞0时，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$，
∴当直线y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$经过点A时截距最小，即z最小，
显然最优解只有一个，不符合题意．
当a＜0时，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$，
∵z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，
∴当直线y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$与直线AB：x-3y+2=0重合时，截距最大，即z最小．
∴a=-3．
设D（-3，0），k=$\frac{y}{y-a}=\frac{y}{x+3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{y=1}\end{array}\right.$得C（5，1）．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\{x-3y+2=0}\end{array}\right.$得B（4，2）．
∴k_CD=$\frac{1-0}{5+3}$=$\frac{1}{8}$，k_BD=$\frac{2-0}{4+3}$=$\frac{2}{7}$．
∴$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{2}{7}$．
故答案为[$\frac{1}{8}$，$\frac{2}{7}$]．

点评 本题考查了简单的线性规划，根据可行域得出a的值是解题关键．