Question

13．当x∈[-1，+∞）时，不等式x³-ax²-4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 分类讨论，当x∈[-1，0）∪（0，+∞）时，化简不等式为a≤$\frac{{x}^{3}-4x+8}{{x}^{2}}$=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，再令f（x）=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，求导确定函数的单调性，从而求函数的最值，从而解恒成立问题．

解答 解：当x=0时，不等式x³-ax²-4x+8≥0成立，
当x∈[-1，0）∪（0，+∞）时，
x³-ax²-4x+8≥0可化为a≤$\frac{{x}^{3}-4x+8}{{x}^{2}}$=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，
令f（x）=x-$\frac{4}{x}$+$\frac{8}{{x}^{2}}$，则f′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{16}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}+4x-16}{{x}^{3}}$
=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+8）}{{x}^{3}}$，
故x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
而f（-1）=-1+4+8=11，f（2）=2-2+2=2，
故a≤2；
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了转化思想的应用．