Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．
（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；
（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；
（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；
（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；
（Ⅲ）设F₂（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F₁|，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
可得（b²+a²e²）x²+2ea³+a⁴-a²b²=0，
可得判别式为4a²e⁶-4（b²+a²e²）（a⁴-a²b²）=-4（a⁴b²-a²b⁴-a⁴e²b²）
=-4[a²b²（a²-b²）-a²c²b²]=0，
即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；
（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），
由（Ⅰ）可得x_T=-$\frac{e{a}^{3}}{{b}^{2}+{a}^{2}{e}^{2}}$=-$\frac{e{a}^{3}}{{b}^{2}+{c}^{2}}$=-ea，
由$\overrightarrow{AT}$=e$\overrightarrow{AB}$，可得-ea+$\frac{a}{e}$=e（0+$\frac{a}{e}$），
即e²+e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负的舍去）：
（Ⅲ）证明：设F₂（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），
即有$\frac{n-0}{m-c}$=-$\frac{1}{e}$，$\frac{n}{2}$=$\frac{e（m+c）}{2}$+a，结合e=$\frac{c}{a}$，b²+c²=a²，
解得m=-c，n=2a，
即为F'（-c，2a），
则|F'F₁|=2a．
故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系：相切，考查向量的坐标运算和离心率公式的运用，同时考查点关于直线对称的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．