Question

1．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{0B}$=$\overrightarrow{b}$，已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，当△AOB的面积最大时，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析 由条件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=4$，进行数乘的运算便可得到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=8$，从而可设$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}sinθ$，这样便可得出S_△AOB=2sin2θsin∠AOB，从而sin2θ=1时△AOB的面积最大，这样由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$即可得到$cos∠AOB=\frac{1}{2}$，从而便可得出∠AOB的大小．

解答 解：根据条件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=4$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=8$；
∴设$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}sinθ$；
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin∠AOB$=2sin2θsin∠AOB；
∴sin2θ=1时，△AOB的面积最大；
∴此时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos∠AOB=4sin2θcos∠AOB=4cos∠AOB=2$；
∴$cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴$∠AOB=\frac{π}{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，cos²x+sin²x=1，圆的参数方程，三角形的面积公式：$S=\frac{1}{2}absinC$，以及正弦函数的最值．