Question

6．设AB=6，在线段AB上任取两点C、D（端点A、B除外），将线段AB分成三条线段AC、CD、DB．
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件A）的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形（称为事件B）的概率；
（3）根据以下用计算机所产生的20组随机数，试用随机数模拟的方法，来近似计算（2）中事件B的概率，
20组随机数如下：

组别	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

组别	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

（X和Y都是0～1之间的均匀随机数）

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．
（3）根据随机数模拟的方法和步骤即可近似计算（2）中事件B的概率．

解答 解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1，
共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=$\frac{1}{10}$．
（2）由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6-x-y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6-x-y，能构成三角形，
则还要满足$\left\{\begin{array}{l}x+y＞6-x-y\\ x+6-x-y＞y\\ y+6-x-y＞x\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}x+y＞3\\ y＜3\\ x＜3\end{array}\right.$，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$．
（3）步骤如下：
①产生两组0～1之间的均匀随机数X、Y（题目给出）
②经平移和伸缩变换，a=6X，b=6Y，
③数出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6的点（a，b）的个数N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6-x-y＜6，6-x-y+y＞x，x+y＞6-x-y
的点（a，b）的个数N₁，由已知中的20组随机数可数得N=13，N₁=3
④由$\frac{{S}_{B}}{{S}_{Ω}}=\frac{{N}_{1}}{N}$=$\frac{3}{13}$，故P（B）=$\frac{3}{13}$．

点评 本题考查古典概型，考查几何概型，对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．