Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b²-（a-c）²=（2-$\sqrt{3}$）ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若BC边上的中线AD的长为3，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知等式可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，由余弦定理解得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合B的范围，即可求B的值．
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD的值，由正弦定理，即可解得BD，从而可求a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²-（a-c）²=（2-$\sqrt{3}$）ac，
所以a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又因为B为△ABC的内角，所以B=$\frac{π}{6}$．…（5分）
（Ⅱ）∵cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin∠BAD=sin（∠ADC-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．…（8分）
△ABD中，由正弦定理，得$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{BD}{\frac{3\sqrt{5}+1}{8}}$，
解得BD=$\frac{9\sqrt{5}+3}{4}$，
故a=$\frac{9\sqrt{5}+3}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．