Question

7．已知函数f（x）=x²，g（x）=$\frac{2}{x}$．
（1）若F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（x）-F（x-1）＞2x-1；
（2）当x∈[-1，+∞）时，f（x）+g（x）（-ax²+x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入化简，解不等式即可，
（2）问题转化为x²-2ax+2-a≥0，在[-1，+∞）恒成立，构造函数，分类讨论即可．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=x²+$\frac{2}{x}$，
∴F（x）-F（x-1）=x²+$\frac{2}{x}$-（x-1）²-$\frac{2}{x-1}$=2x-1-$\frac{2}{x（x-1）}$，
∵F（x）-F（x-1）＞2x-1，
∴2x-1-$\frac{2}{x（x-1）}$＞2x-1，
∴$\frac{2}{x（x-1）}$＜0，
∴x（x-1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1），
（2）∵x∈[-1，+∞）时，f（x）+g（x）（-ax²+x）≥a恒成立，
即x²-2ax+2-a≥0，在[-1，+∞）恒成立，
设h（x）=x²-2ax+2-a，
当△=4a²-4（2-a）≤0时，即-1≤a≤2，h（x）≥0恒成立，
当△=4a²-4（2-a）＞0，即a＜-1或a＞2时，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{h（-1）≥0}\end{array}\right.$，解得-3≤a＜-1，
综上所述a的取值范围为[-3，2]．

点评 本题考查了不等式的解法，和恒成立的问题，关键是转化，属于中档题．