Question

15．从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验．
（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒．
①求恰好化验2次时，能够查出含有病毒血样组的概率；
②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）．
（Ⅱ）如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y的均值E（Y），请指出（Ⅰ）②中E（X）与E（Y）的大小关系．（只写结论，不需说明理由）

Answer 1

分析 （Ⅰ）①由已知能求出恰好化验2次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率．
②确定出含有病毒血样组的次数为X，则X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅱ）由题意得E（X）＜E（Y）．

解答 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时，就能够查出含有病毒血样的组为事件A，
由题意得P（A）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$．
恰好化验2次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率为$\frac{1}{4}$．（4分）
②确定出含有病毒血样组的次数为X，则X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$．
则X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$

所以：E（X）=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．（11分）
（Ⅱ）E（X）＜E（Y）．（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．