Question

20．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．
（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；
（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．
（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，
P（A）=$1-\frac{C_4^4+C_4^3C_6^1}{{C_{10}^4}}=\frac{37}{42}$．…（4分）
（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…（5分）
$P（{X=0}）=\frac{C_4^4}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{210}$，$P（{X=1}）=\frac{C_4^3C_6^1}{{C_{10}^4}}=\frac{24}{210}$，$P（{X=2}）=\frac{C_4^2C_6^2}{{C_{10}^4}}=\frac{90}{210}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_4^1C_6^3}{{C_{10}^4}}=\frac{80}{210}$，$P（{X=4}）=\frac{C_6^4}{{C_{10}^4}}=\frac{15}{210}$，…（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{15}{210}$

…（11分）
∴随机变量X的期望为：$EX=0×\frac{1}{210}+1×\frac{24}{210}+2×\frac{90}{210}+3×\frac{80}{210}+4×\frac{15}{210}=\frac{12}{5}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．