Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a，若{a_n}为等比数列，则a=-1．

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，分别求出a₁，a₂，a₂，再由{a_n}为等比数列，得到${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，由此能求出a的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+a$，
a₂=S₂-S₁=$\frac{1}{4}+a-\frac{1}{2}-a$=-$\frac{1}{4}$，
a₃=S₃-S₂=$\frac{1}{8}+a-\frac{1}{4}-a$=-$\frac{1}{8}$，
∵{a_n}为等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，即（-$\frac{1}{4}$）²=（$\frac{1}{2}+a$）•（-$\frac{1}{8}$），
解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查数列中实数a的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．