Question

5．已知函数f（x）=x²+mx+4．
（Ⅰ）当x∈（1，2）时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|$\frac{f（x）-{x}^{2}}{m}$|＜1的解集中的整数有且仅有1，2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x∈（1，2）时，不等式f（x）＜0恒成立，即为$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）先化简，得到|x+$\frac{4}{m}$|＜1，解得-1-$\frac{4}{m}$＜x＜1-$\frac{4}{m}$，再根据不等式|$\frac{f（x）-{x}^{2}}{m}$|＜1的解集中的整数有且仅有1，2，得到关于m的不等式组解的即可．

解答 解：（Ⅰ）x∈（1，2）时，不等式f（x）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{m+5≤0}\\{2m+4≤0}\end{array}\right.$
解得m≤-5
∴实数m的取值范围（-∞，-5]，
（Ⅱ）|$\frac{f（x）-{x}^{2}}{m}$|=|x+$\frac{4}{m}$|＜1，
∴-1＜x+$\frac{4}{m}$＜1，
∴-1-$\frac{4}{m}$＜x＜1-$\frac{4}{m}$，
∵不等式|$\frac{f（x）-{x}^{2}}{m}$|＜1的解集中的整数有且仅有1，2，
∴0＜-1-$\frac{4}{m}$≤1，且2＜1-$\frac{4}{m}$≤3，
解得-4＜m≤-2，
∴实数m的取值范围（-4，-2]．

点评 本题考查了不等式的解法和函数的恒成立的问题，属于中档题．