Question

10．某人先后抛掷两枚股子，用ξ表示先后抛掷两枚骰子所得点数之差的绝对值．
（1）求ξ的分布列和数学期望；
（2）若记“函数f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由导数性质得到当函数f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增时，ξ≤3，由此能求出事件A的概率．

解答 解：（1）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=$\frac{6}{36}$，P（ξ=1）=$\frac{10}{36}$，P（ξ=2）=$\frac{8}{36}$，
P（ξ=3）=$\frac{6}{36}$，P（ξ=4）=$\frac{4}{36}$，P（ξ=5）=$\frac{2}{36}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Eξ=$0×\frac{6}{36}+1×\frac{10}{36}+2×\frac{8}{36}+3×\frac{6}{36}$+$4×\frac{4}{36}$+$5×\frac{2}{36}$=$\frac{35}{18}$．
（2）∵函数f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增，
∴${f}^{'}（x）=1-\frac{ξ}{{x}^{2}}$，且当x∈[$\sqrt{3}$，+∞）时，f′（x）≥0，
∴当函数f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增时，ξ≤3，
∴记“函数f（x）=x+$\frac{ξ}{x}$在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增”为事件A，
事件A的概率P（A）=1-P（ξ=4）-P（ξ=5）=1-$\frac{4}{36}-\frac{2}{36}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查数列的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．