Question

2．（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展开式中常数项为（　　）

• A． 21
• B． 19
• C． 9
• D． -1

Answer 1

分析 本题是两个多项式的乘法运算，要求运算结果中的常数项，注意第一个多项式的三项，要想得到常数必需是和约分以后得到常数的项相乘，写出二项式中的三项，相乘再相加，即可得出结论．

解答 解：∵（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵=（x²+2x+1）（$\frac{1}{x}$-1）⁵，
根据二项式定理可知，（$\frac{1}{x}$-1）⁵展开式的通项公式为${C}_{5}^{r}$•（-1）^r•x^r-5，
∴（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展开式中常数项由三部分构成，
分别是（x²+2x+1）与（$\frac{1}{x}$-1）⁵展开式中各项相乘得到，
令r=3，则${C}_{5}^{3}$•（-1）³•x^-2，则1×（-${C}_{5}^{3}$）=-10；
令r=4，则${C}_{5}^{4}$•（-1）⁴•x^-1，则2×${C}_{5}^{4}$=10；
令r=5，则${C}_{5}^{5}$•（-1）⁵•x⁰，则1×（-1）=-1；
所以常数项为-10+10-1=-1．
故选：D．

点评 本题考查了求二项式展开式的常数项的应用问题，在解题过程中应用多项式乘以多项式的法则，是易错题．