Question

12．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$k的距离为d．
①当k=3时，求d的最大值；
②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

Answer 1

分析 ①当k=3时，可化l的方程为x+y-6=0，由点到直线的距离公式和三角函数的最值可得；
②分别化为普通方程x²+y²=2，x+y-k=0，由直线l与圆C相交可得圆心O到直线l的距离d＜$\sqrt{2}$，解关于k的不等式可得．

解答 解：①当k=3时，l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，
可得l：ρcosθcos$\frac{π}{4}$+ρsinθsin$\frac{π}{4}$=3$\sqrt{2}$，
整理得l：x+y-6=0，
则d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-6|}{\sqrt{2}}$
∴当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，d_max=$\frac{8}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$；
②消去cosθ可将圆C的参数方程化为普通方程x²+y²=2，
直线l的极坐标方程化为普通方程x+y-k=0，
∵直线l与圆C相交，∴圆心O到直线l的距离d＜$\sqrt{2}$，
即$\frac{|-k|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{2}$，解得-2＜k＜2．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程，涉及点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系，属中档题．