Question

4．若函数f（x）=|3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$|在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 讨论a的取值范围，结合指数函数的单调性的性质，以及利用导数研究函数的单调性，进行求解即可．

解答 解：若a=0，则f（x）=3^x在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，满足条件；
若a＜0，则g（x）=3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
若满足f（x）=|3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$|在x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，只需要g（-$\frac{1}{2}$）≥0，即${3}^{-\frac{1}{2}}$+$\frac{a}{{3}^{-\frac{1}{2}}}$≥0，
即$\frac{a}{{3}^{-\frac{1}{2}}}$≥-${3}^{-\frac{1}{2}}$，则a≥-（${3}^{-\frac{1}{2}}$）²=-$\frac{1}{3}$，
此时-$\frac{1}{3}$≤a＜0；
若a＞0，则f（x）=3^x+$\frac{a}{{3}^{x}}$，
若当x∈[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即3^xln3-$\frac{aln3}{{3}^{x}}$≥0，
即3^xln3≥$\frac{aln3}{{3}^{x}}$，
则a≤（3^x）²=3^2x，
∵h（x）=3^2x，在[-$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，函数h（x）取得最小值h（-$\frac{1}{2}$）=${3}^{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}$，
此时0＜a≤$\frac{1}{3}$，
综上所述，-$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论以及利用构造法，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．