Question

12．已知顶点在原点，准线为x=-1的抛物线的焦点与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F相同，点A，B是两曲线的交点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$，则双曲线的实轴为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$-2
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由题意可得抛物线的方程为y²=4x，焦点为F（1，0），可得c=1，即a²+b²=1，（a＜1），由向量的加减运算和垂直的条件，可得A，F，B共线，求得A（1，2）代入双曲线的方程，解得a，即可得到双曲线的实轴长2a．

解答 解：由题意可得抛物线的方程为y²=4x，焦点为F（1，0），
可得c=1，即a²+b²=1，（a＜1），
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$，
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{OB}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{FB}$，
即为（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{BF}$=0，
由A，B关于x轴对称，可得BF⊥x轴，
即A，F，B共线，可得A（1，2），B（1，-2），
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
即为1-a²-4a²=a²（1-a²），
即a⁴-6a²+1=0，解得a=$\sqrt{2}$-1．
可得双曲线的实轴为2$\sqrt{2}$-2．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查抛物线的方程及焦点，同时考查向量共线的定理的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．