Question

20．设a＞0，b＞0，a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，则3^a+81^b的最小值为18．

Answer 1

分析 由函数的单调性可得ab=1；从而借助基本不等式求最小值即可．

解答 解：∵a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$-b=$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{\frac{1}{b}}$，
又∵y=x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增，
∴a=$\frac{1}{b}$，
即ab=1；
3^a+81^b=3^a+3^4b≥2$\sqrt{{3}^{a}•{3}^{4b}}$=2$\sqrt{{3}^{a+4b}}$，
（当且仅当3^a=3^4b，即a=4b时，等号成立）；
又∵a+4b≥2$\sqrt{a•4b}$=4，
（当且仅当a=4b时，等号成立）；
∴当且仅当a=4b，即a=2，b=$\frac{1}{2}$时，
3^a+81^b有最小值为9+9=18，
故答案为：18．

点评 本题考查了函数与不等式的关系应用及基本不等式的应用．