Question

16．在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N⁺），公比q∈（0，1）且a₂a₄+2a₃a₅+a₁a₉=25，又a₃与a₅的等比中项为2，b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，则当{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和T_n最大时，n的值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 8或9
• D． 17

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃•a₅=2²=4，
又a_n＞0（n∈N⁺），公比q∈（0，1）且a₂a₄+2a₃a₅+a₁a₉=25，
∴$\frac{4}{{q}^{2}}$+2×4+4q²=25，
化为4q⁴-17q²+4=0，
解得q²=$\frac{1}{4}$，4（舍去）．
联立解得：a₁=16，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$16×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^5-n．
b_n=log₂a_n=5-n．
数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$-\frac{1}{2}n$+$\frac{9}{2}$．
令$-\frac{1}{2}n$+$\frac{9}{2}$≥0，解得n≤9．
则当{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和T_n最大时，n的值为8，或9．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．