Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为1，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义便可得到$\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$，从而有$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$，这样根据向量夹角的范围便可得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的大小．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为1，且$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．