Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（{cos\frac{3x}{2}，sin\frac{3x}{2}}），\overrightarrow b=（{cos\frac{x}{2}，sin\frac{x}{2}}）$．
（1）已知$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$且$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求x；
（2）若$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，写出f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，根据平行向量的坐标关系以及两角差的正弦公式即可得出sinx=0，这样根据x的范围便可得出x的值；
（2）进行向量数量积的坐标运算，根据两角差的余弦公式便可得出f（x）=cosx，从而可以写出余弦函数的单调递减区间．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
∴cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=0，即sinx=0；
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]；
∴x=0；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cosx；
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．

点评 考查平行向量的坐标关系，以及两角和与差的正余弦公式，已知三角函数值求角，向量数量积的坐标运算，以及余弦函数的单调区间．