Question

16．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABE，BE=3DE，DE=3，AB⊥AE．
（I）求证：AB⊥面ADE；
（Ⅱ）求二面角A-BC-E的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥面ADE；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（I）∵DE⊥平面ABE，AB?平面ABE，
∴DE⊥AB，
∵AB⊥AE，DE∩AE=E，
∴AB⊥面ADE
（Ⅱ）∵BE=3DE，DE=3，AB⊥AE．
∴BE=9，设正方形ABCD的边长为x，
则AE²=AD²-DE²=BE²-AB²，
即x²-9=81-x²，
即2x²=90，x²=45，
则x=3$\sqrt{5}$，则AE=6，AB=3$\sqrt{5}$
建立以E为坐标原点，EA，ED分别为x，z轴的空间直角坐标系如图：
则E（0，0，0），A（6，0，0），B（6，-3$\sqrt{5}$，0），D（0，0，3），
设C（x，y，z），
则$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$，
即（x，y，z-3）=（0，-3$\sqrt{5}$，0），
即x=0，y=-3$\sqrt{5}$，z=3，
即C（0，-3$\sqrt{5}$，3），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AB}$=（0，-3$\sqrt{5}$，0），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$=（-6，0，3）
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BC}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{-3\sqrt{5}y=0}\\{-6x+3z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{z=2x}\end{array}\right.$
令x=1，则y=0，z=2，则$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），
同理设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$=（-6，0，3），$\overrightarrow{EB}$=（6，-3$\sqrt{5}$，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-6x+3z=0}\\{6x-3\sqrt{5}y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{z=2x}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x}\end{array}\right.$，
令x=5，则y=2$\sqrt{5}$，z=10，则$\overrightarrow{n}$=（5，2$\sqrt{5}$，10），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5+2×10}{\sqrt{1+{2}^{2}}•\sqrt{{5}^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}+1{0}^{2}}}$=$\frac{25}{\sqrt{5}•\sqrt{5×29}}$=$\frac{5}{\sqrt{29}}$=$\frac{5\sqrt{29}}{29}$，
则二面角A-BC-E的平面角的正弦值sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{5}{\sqrt{29}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{29}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．