Question

4．已知x∈[0，2π），求函数y=$\frac{1-cosx}{sinx+2}$的值域．

Answer 1

分析 先求其反函数，再根据三角形的性质即可求出值域．

解答 解：y=$\frac{1-cosx}{sinx+2}$
∴ysinx+2y=1-cosx，
∴ysinx+cosx=1-2y，
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x+θ）=1-2y，其中tanθ=$\frac{1}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$
∴sin（x+θ）=$\frac{1-2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，
∵x∈[0，2π），
∴x+θ∈（θ，2π+θ）
∴-1≤sin（x+θ）≤1，
∴-1≤$\frac{1-2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$≤1，
解得0≤y≤$\frac{4}{3}$
即函数的值域为[0，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了函数的值域的求法，以及三角函数的性质，属于中档题．