Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（x，y），则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{4}$，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|的最大值为2．

Answer 1

分析 可作图：设A（1，1），从而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，可作$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，从而$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，根据条件便可得到$∠B=\frac{π}{4}，OA=\sqrt{2}$，这样在△AOB中，由正弦定理即可得出AB=2sin∠AOB，从而可以得出AB的最大值，即得出$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：如图，设A（1，1），连接OA，则$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，作$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$；
∵$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{4}$；
∴$∠B=\frac{π}{4}$，且OA=$\sqrt{2}$；
∴在△AOB中，由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠AOB}=\frac{OA}{sinB}$；
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{sin\frac{π}{4}}•sin∠AOB=2sin∠AOB≤2$，当且仅当$∠AOB=\frac{π}{2}$时取“=”；
∴AB的最大值为2，即$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$的最大值为2．
故答案为：2．

点评 考查根据点的坐标求向量的坐标，两点间的距离公式，向量夹角的概念，以及正弦定理，正弦函数的值域．