Question

10．（1）在平面直角坐标系中，A（-$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$）是单位圆上一点，将点A沿单位圆按顺时针方向旋转60°，可到达点B，设OA为角α终边，OB为角β终边，且α，β∈（0，π），求sinβ的值
（2）己知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（0，$\frac{π}{4}$），cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意写出sinα与cosα的值，再得出β=α-60°，利用两角差的正弦值公式求出sinβ；
（2）根据α、β的取值范围得出α-$\frac{π}{4}$与$\frac{3π}{4}$+β的取值范围，利用同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出sin（α+β）的值．

解答 解：（1）根据题意，sinα=$\frac{12}{13}$，cosα=-$\frac{5}{13}$，
将点A沿单位圆按顺时针方向旋转60°，到达点B，β=α-60°，
sinβ=sin（α-60°）=sinαcos60°-cosαsin60°=$\frac{12}{13}$×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{12+5\sqrt{3}}{26}$；
（2）∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴α-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
β∈（0，$\frac{π}{4}$），∴$\frac{3π}{4}$+β∈（$\frac{3π}{4}$，π）；
又∵cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∵sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，∴cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$；
∴sin（α+β）=-cos[$\frac{π}{2}$+（α+β）]
=-cos[（α-$\frac{π}{4}$）+（$\frac{3π}{4}$+β）]
=-cos（α-$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{3π}{4}$+β）+sin（α-$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{3π}{4}$+β）
=-$\frac{3}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）+$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$
=$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查了三角函数的定义与同角的三角函数关系、三角恒等变换公式的应用问题，是基础题目．