Question

19．已知点O（0，0），A（a，0），B（0，a），a是正常数，点P在直线AB上，且$\overrightarrow{AP}$=t•$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的最大值．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的最大值．

解答 解：∵点O（0，0），A（a，0），B（0，a），a是正常数，点P在直线AB上，且$\overrightarrow{AP}$=t•$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），
∴$\overrightarrow{AP}$=t•$\overrightarrow{AB}$=t（-a，a）=（-ta，ta）=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=（a-at，ta），
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=（a，0）•（a-at，ta）=a²-a²t，故当t=0时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$取得最大值为a²．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．