Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（2，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sinθ+2cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直列出方程解出tanθ，则$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$；
（2）对|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2两边平方，解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，结合同角三角函数的关系得出sinθ，cosθ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴2cosθ-sinθ=0，即tanθ=2．
∴$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$=$\frac{1}{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=4$，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}=co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ=1$，${\overrightarrow{b}}^{2}={2}^{2}+（-1）^{2}=5$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1．∴2cosθ-sinθ=1，
两边平方得4cos²θ-4sinθcosθ+sin²θ=1，
∵cos²θ+sin²θ=1，∴3cos²θ-4sinθcosθ=0，
∴tanθ=$\frac{3}{4}$．∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴sinθ+2cosθ=$\frac{3}{5}+2×\frac{4}{5}$=$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．