Question

15．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，PA=PB=PD=a．
（I）求证：PB⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的性质即可证明PB⊥BC；
（Ⅱ）利用向量法，表示出向量$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$，得到向量$\overrightarrow{HA}$与$\overrightarrow{BC}$所成的角即可二面角A-PB-C的平面角，根据向量关系即可求二面角A-PB-C的余弦值．

解答 解：（I）∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，
∴取AD的中点E，则BE⊥AD，
∵PA=PD=a，∴PE⊥AD，
∵PE∩AD=E，
∴AD⊥平面PBE，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PBE
∵PB?平面PBE，
∴PB⊥BC．
（Ⅱ）∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，
∴AB=a，AC=$\sqrt{3}$a，
则△PAB是正三角形，
取PB的中点H，
则AH⊥PB，
∵PB⊥BC．
∴向量$\overrightarrow{HA}$与$\overrightarrow{BC}$所成的角即可二面角A-PB-C的平面角，
∵BH=$\frac{1}{2}$a，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$²=（$\overrightarrow{AH}$+$\overrightarrow{HB}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\overrightarrow{AH}$²+$\overrightarrow{HB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{HB}$+2$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{BC}$，
即3a²=$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{4}$a²+a²+0-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•acos＜$\overrightarrow{HA}$，$\overrightarrow{BC}$＞即cos＜$\overrightarrow{HA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则二面角A-PB-C的余弦值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的应用以及二面角的求解，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．