Question

20．已知函数f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）化简函数式，并求出函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$有意义，则sin2x≠0，解得即可，
（2）根据二倍角公式，化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求出值域．

解答 解：（1）要使f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$有意义，
则sin2x≠0，即2x≠kπ，即x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
故函数的定义域为{x|x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}，
（2）f（x）=$\frac{2sin2x+cos4x-1}{2sin2x}$=1+$\frac{1-si{n}^{2}2x-1}{2sin2x}$=1-$\frac{1}{2}$sin2x，
∵-1≤sin2x≤1，且sin2x≠0，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$sin2x≤$\frac{3}{2}$，且1-$\frac{1}{2}$sin2x≠1，
故函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数的定义域和值域的问题，以及二倍角公式，属于基础题．