Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右顶点A（2，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，运用离心率公式，可得c，b，进而得到椭圆方程；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．设直线l为y=k（x-m），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合恒成立，可得m的方程，即可判断是否存在定点．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=2，a²-b²=c²，
解得b=c=$\sqrt{2}$，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，
且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．
设直线l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-4mk²x+2k²m²-4=0，
由△＞0即16m²k⁴-4（1+2k²）（2k²m²-4）＞0，
化简得2（1+2k²）＞k²m²，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{4m{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$，即为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-$\frac{3}{4}$，
结合y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m），
可得（3+k²）（x₁x₂）-（6+4k²m）（x₁+x₂）+12+4k²m²=0，
即有（3+k²）•$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$-（6+4k²m）（$\frac{4m{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+12+4k²m²=0，
化简可得k²（5m²-12m+12）=0，由k为任意实数，可得：
5m²-12m+12=0，由△=144-240＜0，则m无实数解．
故在x轴上不存在定点M（m，0），使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，
且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查定点垂直问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．