Question

6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，求函数y=f（x）的值域；
（3）若关于x的方程3•[f（x）]²+mf（x）-1=0在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数图象可求A，周期T，利用周期公式求ω，由sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，结合0＜φ＜π可求φ，函数的解析式可得．
（2）根据x的范围确定2x+$\frac{π}{3}$的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．
（3）根据题意推断出方程有三个不相等的根，需要2个根在[$\frac{1}{2}$，1]，另一个根在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上，根据二次函数的性质列不等式组求解．

解答 解：（1）∵由函数图象可得：A=1，周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
又∵点（$\frac{π}{3}$，0）在函数图象上，可得：sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∴解得：φ=kπ$-\frac{2π}{3}$，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即函数f（x）的值域为：[-$\frac{1}{2}$，1]．
（3）要使方程有三个不相等的根，需要2个根在[$\frac{1}{2}$，1]，另一个根在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上，
令t=f（x），g（t）=3t²+mt-1，
则有：
g（1）=3+m-1＞0；
g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+$\frac{t}{2}$-1≤0；
g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{t}{2}$-1≥0；
从而解得：-2＜m≤$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，二次函数的性质，考查了数形结合的思想和转化与化归的思想，属于中档题．