Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且△OAB的面积为S，其中O为坐标原点，当S取得最大值时，求y${\;}_{1}^{2}$+y${\;}_{2}^{2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+t，代入椭圆方程可得（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到最大值，计算化简即可得到所求值为1．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，且e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+t，
代入椭圆方程可得（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，
判别式为4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，
即为4+m²＞t²，
y₁+y₂═-$\frac{2mt}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，
则S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\frac{|t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$|t|•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{t}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}-\frac{4{t}^{2}-16}{4+{m}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{{t}^{2}（4+{m}^{2}-{t}^{2}）}}{4+{m}^{2}}$≤$\frac{\frac{{t}^{2}+4+{m}^{2}-{t}^{2}}{2}}{4+{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当t²=4+m²-t²，即4+m²=2t²，S取得最大值$\frac{1}{2}$．
即有y${\;}_{1}^{2}$+y${\;}_{2}^{2}$=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=（-$\frac{2mt}{4+{m}^{2}}$）²-2•$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$
=$\frac{{m}^{2}}{{t}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$=$\frac{4+{m}^{2}-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=$\frac{2{t}^{2}-{t}^{2}}{{t}^{2}}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．