Question

2．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AB=6，BD=$\sqrt{6}$，则ADsin∠BAD=．

Answer 1

分析 由已知及$cosC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，可得AC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．

解答 解：∵∠DAC=90°，$cosC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$=$\frac{AC}{CD}$，可得：AC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$CD，

又∵AB=6，$BD=\sqrt{6}$，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$CD）²+（$\sqrt{6}$+CD）²-2×$\frac{\sqrt{6}}{3}$CD×（$\sqrt{6}$+CD）×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴整理可得：CD²+2$\sqrt{6}$CD-90=0，解得：CD=3$\sqrt{6}$，AC=6，
∵AB=AC=6，
∴sinB=sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．