Question

12．双曲线C与椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦点，抛物线E：y²=4x的准线过双曲线C的一个顶点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线l₁：x-y+2=0．直线l₂过椭圆D的右顶点B且与l₁平行，若直线l₂交抛物线于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积；
（3）在双曲线C上求一点P，使P到点Q（$\frac{3}{2}$，0）的距离最短．并求出最短距离．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，求得抛物线的准线可得a=1，b=1，进而得到双曲线的方程；
（2）l₂：y=x-2，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，即可得到所求面积；
（3）设P（m，n），即有m²-n²=1，可得|PQ|=$\sqrt{（m-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$，运用二次函数的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦点为（±$\sqrt{2}$，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得a²+b²=1，
抛物线E：y²=4x的准线x=-1过双曲线C的一个顶点，
可得a=1，b=1，
则双曲线的方程为x²-y²=1；
（2）由题意可得B（2，0），
l₂：y=x-2，代入抛物线的方程可得x²-8x+4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
即有|MN|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{6}$，
O到直线l2的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有△OMN的面积为S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•4$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$；
（3）设P（m，n），即有m²-n²=1，
可得|PQ|=$\sqrt{（m-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-3m+\frac{9}{4}+{m}^{2}-1}$
=$\sqrt{2{m}^{2}-3m+\frac{5}{4}}$=$\sqrt{2（m-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
当m=$\frac{3}{4}$时，|PQ|取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查双曲线的凤凰城的求法，以及直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，双曲线的方程的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．