Question

15．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁B₁的中点，Q是AB的中点，求异面直线A₁Q与DP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁Q与DP所成角的余弦值．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，2），Q（2，1，0），D（0，0，0），P（2，1，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DP}$=（2，1，2），
设异面直线A₁Q与DP所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}Q}•\overrightarrow{DP}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}P}|•|\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线A₁Q与DP所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．