Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=$\frac{π}{3}$，AB：BC=2：3，$AC=\sqrt{7}$．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）若$∠BCD=\frac{3π}{4}$，CD=1，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由已知及余弦定理，比例的性质即可解得BC=3，AB=2，由正弦定理即可解得sin∠ACB的值
（2）由（1）及余弦定理可求cos∠ACB，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠ACD的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，AB：BC=2：3，$AC=\sqrt{7}$，可得：AB=$\frac{2BC}{3}$，
∴在△ABC中，由余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，可得：7=$\frac{4B{C}^{2}}{9}$+BC²-$\frac{2B{C}^{2}}{3}$，
∴解得：BC=3，AB=2，
∴由正弦定理可得：sin∠ACB=$\frac{AB•sin∠ABC}{AC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）∵由（1）及余弦定理可得：
cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2•AC•BC}$=$\frac{7+9-4}{2×\sqrt{7}×3}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin$∠ACD=sin（\frac{3π}{4}-∠ACB）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos∠ACB+sin∠ACB）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{\sqrt{21}}{7}$），
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD•sin∠ACD=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×$1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{\sqrt{21}}{7}$）=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，比例的性质，正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．