Question

17．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则cos（$\frac{π}{12}$-α）=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 由角的范围，根据同角三角函数基本关系式可求sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，由角的关系，利用诱导公式，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式化简所求即可求值．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{4}$+α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{1-cos（\frac{π}{4}+α）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{12}$-α）
=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{12}$-α）]
=sin（$\frac{5π}{12}$+α）
=sin[$\frac{π}{6}$+（$\frac{π}{4}$+α）]
=sin$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{4}$+α）+cos$\frac{π}{6}$sin（$\frac{π}{4}$+α）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$
=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．