Question

20．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中$0＜α＜\frac{π}{2}$）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：$θ=α+\frac{π}{2}$与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值；
（3）在（2）的条件下，求三角形OMN的内切圆圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化简．
（2）由（1）可得：$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{4sin（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$，即可得出．

解答 解：（1）直线l的方程是y=8，可得极坐标方程：ρsinθ=8．
圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），化为直角坐标方程：x²+（y-2）²=4，展开为x²+y²-4y=0，化为极坐标方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）由（1）可得：$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{4sin（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{4}$sin²αcos²α=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$≤$\frac{1}{16}$，当且仅当α=$\frac{π}{4}$时取等号．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值为$\frac{1}{16}$．
（3）设直角三角形OMN的内切圆圆心C（x，y），半径为r．
则8-y=r，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$（8-y），
∴（y-16）²-x²=128（0＜y＜8）．
∴三角形OMN的内切圆圆心的轨迹方程为（y-16）²-x²=128（0＜y＜8）．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直角三角形的性质、三角形内切圆的方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．