Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=-1，|a_n-a_n-1|=2^n-1（n∈N，n≥2），且{a_2n-1}是递减数列，{a_2n}是递增数列，则a₂₀₁₆=$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由|a_n-a_n-1|=2^n-1，（n∈N，n≥2），可得：|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1，|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，根据：数列{a_2n-1}是递减数列，且{a_2n}是递增数列，可得a_2n-a_2n-1＜a_2n+2-a_2n+1，可得：a_2n-a_2n-1=2^2n-1，同理可得：a_2n+1-a_2n=-2²ⁿ，再利用“累加求和”即可得出．

解答 解：由|a_n-a_n-1|=2^n-1，（n∈N，n≥2），
则|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1，|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，
∵数列{a_2n-1}是递减数列，且{a_2n}是递增数列，
∴a_2n-a_2n-1＜a_2n+2-a_2n+1，
又∵|a_2n-a_2n-1|=2^2n-1＜|a_2n+2-a_2n+1|=2²ⁿ⁺¹，
∴a_2n-a_2n-1＞0，即a_2n-a_2n-1=2^2n-1，
同理可得：a_2n+3-a_2n+2＜a_2n+1-a_2n，
又|a_2n+3-a_2n+2|＞|a_2n+1-a_2n|，
则a_2n+1-a_2n=-2²ⁿ，
当数列{a_n}的项数为偶数时，令n=2k（k∈N^*），
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=-2²，a₄-a₃=2³，a₅-a₄=-2⁴，…，a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=-2²⁰¹⁴，a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵．
∴a₂₀₁₆-a₁=2-2²+2³-2⁴+…-2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵
=$\frac{2[1-（-2）^{2015}]}{1-（-2）}$=$\frac{2}{3}×（{2}^{2015}+1）$．
∴a₂₀₁₆=$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

故答案为：$\frac{{2}^{2016}-1}{3}$．

点评 本题考查了等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．