Question

3．已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=2，D是边BC的中点，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
（1）求|$\overrightarrow{AD}$|
（2）若AD与CE相交于点F．试用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AF}$
（3）若点M是线段BC上的一点，且$\overrightarrow{AM}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC）}$=1，求|$\overrightarrow{AM}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质得出；
（2）用$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AF}$，根据三点共线得出；
（3）建立平面直角坐标系，设B（a，0），C（0，b），M（x，y），根据已知条件列出方程组，用a，b表示出x，y得到|$\overrightarrow{AM}$|关于a，b的式子，利用基本不等式得出|$\overrightarrow{AM}$|的范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|BC|=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|=2，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$|BC|=1．
（2）∵D是AB中点，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
设$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$=$\frac{3λ}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵C，F，E三点共线，∴$\frac{3λ}{2}+\frac{λ}{2}$=1，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$．
（3）以AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
设B（a，0），C（0，b），则a²+b²=4，
∴直线AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0．
设M（x，y），则$\overrightarrow{AM}$=（x，y），$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（a，b）．
∵$\overrightarrow{AM}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC）}$=1，
∴ax+by=1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ax+by=1}\\{bx+ay=ab}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{a-a{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{{a}^{2}b-b}{{a}^{2}-{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴|$\overrightarrow{AM}$|²=x²+y²=$\frac{1}{a+b}$．
∴a²+b²=4≥2ab，∴ab≤2．
∴（a+b）²=4+2ab≤8．∴a+b$≤2\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{a+b}≥\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{\frac{1}{a+b}}$≥$\frac{\root{4}{2}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，向量的数量积运算，属于中档题．