Question

3．设$\overrightarrow{AB}$=（k，1）（k∈Z），$\overrightarrow{AC}$=（2，4），若k为满足|$\overrightarrow{AB}$|≤4的一个随机数，则△ABC是直角三角形的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 根据向量模长公式求出满足条件的k的个数，再根据古典概型的计算公式进行求解．

解答 解：∵$|{\overrightarrow{AB}}|≤4$∴$\sqrt{{k}^{2}+1}≤4$∴$-\sqrt{15}≤k≤\sqrt{15}$
又∵k为整数，则k∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}
若△ABC为直角三角形，则
当A为直角时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2k+4=0$，即k=-2
当B为直角时，$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}={|\overrightarrow{AB}|}^{2}+{|\overrightarrow{BC}|}^{2}$，即k=-1或k=3
∵$|{\overrightarrow{AB}}|≤4$，
∴C不可能为直角．
故△ABC是直角三角形的概率P=$\frac{3}{7}$，
故选：C．

点评 本题主要考查概率的计算，根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解是解决本题的关键．