Question

8．已知函数f（x）=ax³+2bx²+3cx+4d（a，b，c，d为实数，a＜0，c＞0）是奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，则c的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$

Answer 1

分析 求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可c的最大值

解答 解：∵函数f（x）=ax³+2bx²+3cx+4d是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³+2bx²-3cx+4d=-ax³-2bx²-3cx-4d恒成立，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+3cx，
∴f′（x）=3ax²+3c，
令f′（x）=0，则x=±$\sqrt{\frac{-c}{a}}$，
当x∈[0，1]时，
①若$\sqrt{\frac{-c}{a}}$≥1，则f（x）_max=f（1）=a+3c=1，
∴c∈（0，$\frac{1}{2}$]；
②0＜$\sqrt{\frac{-c}{a}}$＜1，f（x）_max=f（$\sqrt{\frac{-c}{a}}$）=1，f（1）≥0，
∴c∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴c的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．