Question

10．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回（往返共两天）．

（Ⅰ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（只写出结论不要求证明）
（Ⅱ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅲ）设X是此人出差期间（两天）空气质量中度或重度重度污染的天数，求X的分布列与数学期望．

空气质量指数	污染程度
小于100	优良
大于100且小于150	轻度
大于150且小于200	中度
大于200且小于300	重度
大于300且小于500	严重
大于500	爆表

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图判断从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（Ⅱ）设A_i表示事件“此人于2月i日到达该市”，（i=1，2，…，13），根据题意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃，由此能求出此人到达当日空气质量优良的概率．
（Ⅲ）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由图判断从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（Ⅱ）设A_i表示事件“此人于2月i日到达该市”，（i=1，2，…，13），
根据题意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j），
设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃，
∴P（B）=P（A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{6}{13}$．
∴此人到达当日空气质量优良的概率为$\frac{6}{13}$．
（Ⅲ）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，
且P（X=1）=P（A₄∪A₆∪A₇∪A₉∪A₁₀∪A₁₁）=$\frac{6}{13}$，
P（X=2）=P（A₅∪A₈）=$\frac{2}{13}$，
P（X=0）=1-$\frac{6}{13}-\frac{2}{13}$=$\frac{5}{13}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{6}{13}$	$\frac{2}{13}$

EX=$0×\frac{5}{13}+1×\frac{6}{13}+2×\frac{2}{13}$=$\frac{10}{13}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．