Question

3．己知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，对一切n∈N^*，都有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n，则数列{b_n}的通项公式为b_n=1．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，化简a_n+3a_n+1=q（a_n+2）²，从而可得a_n+3a³_n+1=（a_n+2）³a_n，从而化简可得a_nd=0，从而求得．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b_n，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=b_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n}}{{（a}_{n+1}）^{2}}$=q，∴a_n+2a_n=q（a_n+1）²，
∴a_n+3a_n+1=q（a_n+2）²，
∴$\frac{{a}_{n+3}{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}{a}_{n}}$=$\frac{{{a}^{2}}_{n+2}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$，
即a_n+3a³_n+1=（a_n+2）³a_n，
即（a_n+3d）（a_n+d）³=（a_n+2d）³a_n，
化简可得，a_nd=0，
∵a_n≠0，∴d=0，
故数列{a_n}是常数列，
故b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，
故答案为：b_n=1．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及整体思想与转化思想的应用，属于基础题．