Question

16．设a，b∈R，则“a＞b”是“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要 条件

Answer 1

分析 构造函数，f（x）=e^x+e^-x，分类讨论判断函数的单调性，再根据充分性和必要性判断即可．

解答 解：设f（x）=e^x+e^-x，
∵f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
当x＞0时，e^x＞1，
∴（e^x）²-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴x＞0时，f（x）是增函数，
∵a＞b＞0，
∴f（a）＞f（b），
∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．
∴a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b），
当x＜0时，
∴（e^x）²-1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴x＜0时，f（x）是减函数，
∵b＜a＜0，
∵f（a）＜f（b），
∴e^a+e^-a＜e^b+e^-b．
∴a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b），
当a＞0＞b时，显然成立，
综上所述当a＞b时，“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”恒成立，故充分性成立，
反之也成立，故必要性成立，
∴“a＞b”是“a（e^a+e^-a）＞b（e^b+e^-b）”充要条件，
故选：C．

点评 本题考查充分必要条件的判断和函数的单调性，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性以及分类讨论的思想，属于中档题．