Question

4．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）（x≤2010）}\\{f（x-4）（x＞2010）}\end{array}\right.$则f（2009）+f（2010）+f（2011）+f（2012）=0．

Answer 1

分析 利用分段函数性质和三角函数诱导公式求解．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）（x≤2010）}\\{f（x-4）（x＞2010）}\end{array}\right.$，
∴f（2009）+f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（2009）+f（2010）+f（2007）+f（2008）
=sin（$\frac{2009π}{2}+\frac{π}{3}$）+sin（$\frac{2010π}{2}+\frac{π}{3}$）+sin（$\frac{2007π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+sin（$\frac{2008π}{2}$+$\frac{π}{3}$）
=sin（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）+sin（$π+\frac{π}{3}$）+sin（$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+sin$\frac{π}{3}$
=-cos$\frac{π}{3}$-sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{3}$
=0．
故答案为：0．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质和三角函数诱导公式的合理运用．