Question

5．若x²+2xy-y²=7（x，y∈R）．求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析 设x²+y²=r²，则x=rcosa，y=rsina，从而化简可得$\sqrt{2}$r²sin（2a+$\frac{π}{4}$）=7，从而求最小值．

解答 解：设x²+y²=r²，则x=rcosa，y=rsina，
则x²+2xy-y²=7可化为
r²cos²a+2r²sinacosa-r²sin²a=7，
即r²（cos2a+sin2a）=7，
即$\sqrt{2}$r²sin（2a+$\frac{π}{4}$）=7，
故当sin（2a+$\frac{π}{4}$）=1时，r²有最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
故x²+y²的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了参数法的应用及三角恒等变换的应用．