Question

17．已知梯形ABCD如图所示，连接AC，AD：DC：AC：BC：AB=1：1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$：2，现沿AC将梯形ABCD折叠成三棱锥D-ABC，则当三棱锥D-ABC的体积最大时，二面角D-AB-C的正切值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 不妨设AD=1，则DC=1，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，AB=2，根据三棱锥体积最大时，得到DE⊥平面ABC，根据二面角的定义作出二面角的平面角，进行求解即可．

解答 解：AD：DC：AC：BC：AB=1：1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$：2，
∴不妨设AD=1，则DC=1，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，AB=2，
则AD⊥CD，AC⊥BC，
取AC的中点E，则DE⊥AC，
若棱锥D-ABC的体积最大时，
∵底面△ABC的面积是定值，
∴只要三棱锥的高最大即可，
此时满足DE⊥平面ABC，即可．
过E作EH⊥AB，连接DH，
则DH⊥AB，
即∠DHE是二面角D-AB-C的平面角，
则tan∠DHE=$\frac{DE}{EH}$，
∵在等腰直角三角形ADC中，AD=1，∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则等腰直角三角形ACB中，EH=AEsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则tan∠DHE=$\frac{DE}{EH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查二面角的求解，根据三棱锥体积最大值时确定DE⊥平面ABC是解决本题的关键．利用定义法作出二面角的平面角是本题的难点．