Question

2．若O为△ABC内一点，且2$\overrightarrow{OA}$$+7\overrightarrow{OB}$$+6\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，三角形ABC的面积是三角形OAB面积的λ倍，则λ=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{15}{2}$
• C． $\frac{15}{7}$
• D． 5

Answer 1

分析 如图所示，作$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}=7\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OF}=6\overrightarrow{OC}$．由于2$\overrightarrow{OA}$$+7\overrightarrow{OB}$$+6\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得：点O是△DEF的重心．可得$\frac{S△OAB}{{S}_{△OED}}$=$\frac{1}{14}$，S_△OAB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{14}$×S_△DEF=$\frac{1}{42}$S_△DEF，同理可得：S_△OBC=$\frac{1}{126}$S_△DEF，S_△OAC=$\frac{1}{36}$S_△DEF．即可得出．

解答 解：如图所示

作$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}=7\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OF}=6\overrightarrow{OC}$．
∵2$\overrightarrow{OA}$$+7\overrightarrow{OB}$$+6\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴点O是△DEF的重心．
可得$\frac{S△OAB}{{S}_{△OED}}$=$\frac{OA×OB}{2OA×70B}$=$\frac{1}{14}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{14}$×S_△DEF=$\frac{1}{42}$S_△DEF，
同理可得：S_△OBC=$\frac{1}{126}$S_△DEF，S_△OAC=$\frac{1}{36}$S_△DEF．
∴S_△OAB=S_△ABC$\frac{1}{14}$÷$（\frac{1}{42}+\frac{1}{126}+\frac{1}{36}）$=$\frac{2}{5}$S_△ABC，
∴$λ=\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的三角形法则、共面向量基本定理、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．