Question

9．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，3sinAcosB+bsinAcosA=3sinC（A≠$\frac{π}{2}$）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A=$\frac{2π}{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （I）由已知式子和三角函数公式可得bsinA=3sinB，由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=3；
（Ⅱ）由A=$\frac{2π}{3}$可得C=$\frac{π}{3}$-B，B∈（0，$\frac{π}{3}$），由正弦定理可得b和c，可得△ABC周长，由三角函数的最值可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中3sinAcosB+bsinAcosA=3sinC，
∴3sinAcosB+bsinAcosA=3sin（A+B），
∴3sinAcosB+bsinAcosA=3sinAcosB+3cosAsinB，
∴bsinAcosA=3cosAsinB，∵A≠$\frac{π}{2}$，∴cosA≠0，
两边同除以cosA可得bsinA=3sinB，
∴由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=3；
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$-B，B∈（0，$\frac{π}{3}$），
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=2$\sqrt{3}$sinB，c=$\frac{asinC}{sinA}$=2$\sqrt{3}$sinC，
∴△ABC周长为3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-B）
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB）
=3+2$\sqrt{3}$sinB+3cosB-$\sqrt{3}$sinB
=3+$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=3+2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=3+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴当B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即B=$\frac{π}{6}$时，三角形的周长取最大值3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角函数的最值，属中档题．